数学1D(学部2年生): 2007年 冬学期

10月15日
I. 常微分方程式
1. 1階常微分方程式:求積方による解法
 1.1. 微分方程式とは?(一般解、初期条件、特解)
 1.2. 変数分離形
 1.3. 同次形
 1.4. 同次線形
 1.5. 非同次線形
 1.6. 完全微分形
復習プリント(PDF)
10月22日
 1.6. 完全微分形(続き)
 1.7. 非正規系微分方程式
 1.8. 求積法で解ける有名な微分方程式
  1.8.1. ベルヌーイの微分方程式
  1.8.2. リッカチの微分方程式
  1.8.3. クレーローの微分方程式
2. 定係数2階線形微分方程式
 2.1. 同次線形の場合の指数関数解
復習プリント(PDF)
10月29日
 2.1. 同次線形の場合の指数関数解(続き)
 2.2. 非同次形の解法
  2.2.1. 定数変化法
  2.2.2. 未定係数法
3. 1階連立微分方程式
 3.1. 定係数の連立微分方程式
復習プリント(PDF)[11/2 差し替え(問題(2))]
11月5日
 3.2. 同次形の解法
  3.2.1. 特性方程式が全て異なる単根をもつ場合
  3.2.2. 特性方程式が重根をもつ場合
復習プリント(PDF)
11月12日
  3.2.2. 特性方程式が重根をもつ場合
   * 線形代数の部分的な復習(ジョルダン標準形)
 3.3. 非同次形の解法
4. 変係数線形微分方程式の級数解
 4.1. 正則点のまわりの解
復習プリント(PDF)
11月19日
 4.1. 正則点のまわりの解(続き)
   * ルジャンドルの微分方程式
 4.2. 確定特異点のまわりの解
復習プリント(PDF)
11月26日
5.微分方程式の解の安定論
 5.1. 非線形微分方程式の例
 5.2. 解の安定性
 5.3. 平衡点近傍の振る舞い
6. 常微分方程式の数値解法
 6.1. コーシーの折れ線
復習プリント(PDF)
12月3日
 6.2. オイラー法
 6.3. ルンゲ・クッタ法
II. ベクトル解析
1. 基本的な定義
 1.1. ベクトルの内積と外積
 1.2. ベクトルの微分
2. 場の量とその演算
 2.1. スカラー場の勾配(gradient)
 2.2. ベクトル場の発散(divergence)
 2.3. ベクトル場の回転(rotation)
 2.4. ラプラシアン
復習プリント(PDF)
12月10日
 2.5. 勾配、発散、回転に関する関係式
3. 線積分、面積分
 3.1. ベクトル場の線積分
 3.2. ベクトル場の面積分
 3.3. 積分定理
  3.3.1. 勾配の場の線積分
  3.3.2. 2次元ガウス・ストークスの定理
  3.3.3. ストークスの定理
  3.3.4. ガウスの定理
復習プリント(PDF)
12月17日
4. 直交曲線座標系
 4.1. 基底ベクトル
  4.1.1. 3次元極座標表示
  4.1.2. 円柱座標表示
 4.2. 直交曲線座標系における勾配
 4.3. 直交曲線座標系における発散
 4.4. 直交曲線座標系における回転
 4.5. 直交曲線座標系におけるラプラシアン
復習プリント(PDF)
1月7日
III. 変分法
1. オイラー・ラグランジュ方程式
 1.1. 汎関数と変分
 1.2. オイラー・ラグランジュ方程式の導出
 1.3. 簡単な応用例
 1.4. 境界条件
復習プリント(PDF)
1月15日
 1.4. 境界条件(続き)
2. 変分法の応用としての解析力学
 2.1. 最小作用の原理(変分原理)
 2.2. ハミルトニアン形式
* 復習プリントはありません
1月21日
3. ラグランジュ未定乗数法
 3.1. 束縛条件とラグランジュ未定乗数
 3.2. 束縛条件のある変分問題
* 復習プリントはありません
3月3日
期末試験
参考書
  • 田辺行人・藤原毅夫 著「常微分方程式」(東京大学出版会)
  • 田辺行人・大高一雄 著「理・工基礎 解析学」(裳華房)
  • 初貝安弘 著「物理学のための応用解析」(サイエンス社)
  • ジョージ・アルフケン、ハンス・ウェーバー著「基礎物理数学 フーリエ変換と変分法」(講談社)
成績評価について
  • 宿題レポート提出 40%,期末試験 60%